28. Intégrale par la règle de Leibniz (le tour préféré de Feynman)

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a calcular la integral de 0 a infinito de de x sobre x cuadrada masa cuadrada todo esto elevado al cuadrado y para calcular esta integral vamos a ver un nuevo método que se llama derivación bajo signo integral o también se conoce como la regla de laynce nix para integrales o también como el truco favorito de feinmann vamos a explicar cómo es este método mediante este ejemplo pero para poder calcular esta integral primero debemos resolver una integral más simple en este caso si nosotros quitamos el cuadrado que está aquí en el denominador tenemos este caso más simple la integral de cero infinito de 1 sobre x cuadrada masa cuadrada por de x esta es una integral inmediata que podemos resolver bueno mediante sustitución trigonométricas pero ya tenemos una fórmula que conocemos bien que nos dice que esto es igual a 1 sobre a por el arco tangente de x sobre a y como es una integral definida todavía hay que evaluar de 0 a infinito al sustituir el infinito nos queda arco tangente en infinito - arco tangente en el 0 recuerden que esta expresión de aquí realmente significa el límite cuando x tiende a infinito de arco tangente de x o vea pero por simplicidad no podemos escribir de esta manera recordando que es el límite vale y sobre 2 y arco tangente de 0 vale 0 si multiplicamos aquí 1 por pinos a pi ya por 2 es 2a tenemos entonces este resultado esta integral es igual a pi sobre 2 a y a partir de este resultado nosotros podemos calcular esta integral y la forma de hacerlo es derivar esta expresión en ambos lados respecto de a tratando como si fuera una variable vean que del lado izquierdo tenemos aquí adentro de la integral una expresión que tiene dos variables una es la equis y la otra es a pero al integrar respecto de la equis y sustituir los límites de integración lo que nos queda como resultado es una expresión que únicamente depende de a entonces vamos a derivar a ambos lados respecto de esa variable y aquí es donde está el truco o lo más importante de este método que es que se cumple esta igualdad la derivada respecto de t de una integral de ave de fx de t de x es igual a la integral de la derivada vean nosotros estamos aquí derivando respecto de la variable que no se está integrando aquí adentro aquí adentro nosotros tenemos una función de dos variables xy t la cual se está integrando respecto de una de ellas respecto de x bueno al hacer esa integral nosotros obtenemos como resultado una expresión que dependerá de la otra variable porque como es una integral definida estos valores de aquí que son constantes se terminan sustituyendo en la variable x en este caso por lo que ya no nos va a quedar la variable x sino una expresión que dependerá de estas constantes y de la variable t por lo tanto aquí lo que estamos haciendo es derivar respecto de esa variable t y lo que nos dice esta igualdad es que nosotros podemos intercambiar la derivada con la integral es decir podemos meter esta derivada aquí adentro pero al meterla escribirla como una derivada parcial ya que estamos derivando una función de dos variables xy t entonces entra como una derivada parcial tratando a la x como una constante derivando únicamente respecto de t y esa es precisamente la propiedad que vamos a utilizar en este caso vamos a intercambiar la derivada con la integral antes de hacer eso quiero hacer aquí una rápida mención de que esta igualdad únicamente se satisface bajo ciertas condiciones en particular esta función debe ser continua en el intervalo ave y también su derivada debe ser continua en ese intervalo para que se satisfaga aquí ustedes pueden demostrar que esta función es continua en el intervalo de 0 a infinito y también su derivada lo es entonces por eso podemos aplicar este método en este caso así que hacemos el intercambio de la derivada con la integral obteniendo esto de aquí recuerden que al hacer el intercambio esta derivada debe cambiar por derivada parcial ya que ahora estaremos derivando una función de dos variables de idea esta derivada de aquí nosotros ya sabemos calcularla es la derivada de una división aquí al principio puede resultarnos un poco confuso como es que hay que calcularla ya que estamos más acostumbrados a utilizar x como la variable y derivar siempre respecto de x pero vean que aquí estamos derivando respecto de a es decir que ahora la x actúa como una constante como si fuera un número y la a actúa como si fuera la variable entonces en este caso voy a hacer la derivada paso a paso para que todo esto quede más claro la fórmula que hay que aplicar es esta de aquí la derivada de una división o sobre v que es igual a lo de abajo por la derivada de lo de arriba menos lo de arriba por la derivada de lo de abajo sobre lo de abajo al cuadrado entonces aplicándolo en este caso la derivada respecto de a de esta división va a ser lo de abajo que es x cuadrada masa cuadrada por la derivada de lo de arriba y esta derivada del respecto de a menos lo de arriba que es 1 por la derivada respecto de a de lo de abajo y todo dividido entre lo de abajo al cuadrado aquí al derivar respecto de a el 1 eso nos da 0 la derivada de una constante es cero así que el primer término se hace cero y este término de acá estamos derivando respecto de a x cuadrada masa cuadrada pero recuerden la equis actúa como una constante así que al derivar esa constante se hace cero y luego al derivar a cuadrada aplicaríamos la fórmula de la derivada de x a la n que en este caso sería derivada de la n que es n por ha elevado a n 1 si lo estamos aplicando sobre a como si fuera la x entonces el exponente 12 baja luego ponemos la y al 2 le restamos 1 por eso queda 2a bueno y abajo pues nos queda lo mismo y simplemente aquí hacemos la operación este 0 lo quitamos menos 1 por 2 a queda menos 2 a entonces esta es la derivada que vamos a colocar aquí adentro y del lado derecho tendríamos que hacer también esta derivada mediante la misma regla ya que tenemos de nuevo una división p sobre 2a entonces aplicando de nuevo esta esta regla llegaremos a este resultado menos pi sobre 2a cuadrada los invito a que ustedes verifiquen que en efecto se llega a esta respuesta ahora observen la expresión a la que hemos llegado vean cómo está integral se parece mucho a la integral que nosotros queremos calcular en la parte de abajo aparece la misma expresión la única diferencia es que aquí arriba aparece menos 2a pero en esta integral que estamos haciendo respecto de x esté menos 2a es constante y podemos sacarlo de la integral es lo que haremos a continuación sacamos el menos 2 a de la integral y nos queda entonces esta integral de aquí que es precisamente la que nosotros queremos calcular ahora simplemente este menos 2 que está multiplicando lo podemos pasar dividiendo al lado derecho hacemos la multiplicación y llegamos finalmente al resultado para la integral aquí hacemos menos entre menos que nos da más por 24 y ahora cuadrada nos da al cubo llegando así finalmente al resultado para esta integral y vean cómo es que hemos llegado a este resultado a partir de un resultado más simple primero calculamos la integral sin el cuadrado luego derivamos a ambos lados respecto de a y así pudimos llegar a este resultado ese es el método de la derivación bajo signo integral o regla de la miss o el truco favorito de feinmann ahora los invito a que ustedes apliquen este mismo método para calcular esta misma integral pero ahora con exponente 3 y en el siguiente vídeo les voy a mostrar paso a paso cómo es que se realiza muchas gracias a todas las personas que me han apoyado con su donación a través de youtube y a través de page jon por aquí pueden ver sus nombres si ustedes quieren apoyarme por alguno de estos medios pueden hacerlo dando click al botón de unirse que aparece a un lado del botón de suscribirse o el enlace a page jon pueden encontrarlo en la descripción