Introduction to the unit circle | Trigonometry | Khan Academy

Lo que intenté dibujar aquí es un círculo unitario. Lo llamo círculo unitario porque tiene radio 1. Así que la distancia desde el centro (el centro está en el origen) a cualquier punto del círculo, es 1. ¿Cuál será la coordenada en este punto que intersecta el eje x? Bueno, x será 1 y y será 0. ¿Cuál es la coordenada de este punto aquí arriba? Bueno, hemos ido 1 sobre el origen, pero no nos hemos movido ni a la izquierda o derecha. Así que el valor de x es 0. El valor de y es 1. ¿Qué hay de este? Bueno, aquí el valor de x es 1. Nos hemos movido 1 a la izquierda. Y no nos hemos movido arriba o abajo, así que el valor en y es 0. ¿Qué hay del punto aquí abajo? Bueno, hemos ido una unidad abajo o 1 por debajo del origen. Pero no nos hemos movido en la dirección de x. Así que x es 0 y y es 1 negativo. Ahora que sabemos eso, voy a dibujar un ángulo. La forma en la que voy a dibujar el ángulo-- Voy a definir una convención para los ángulos positivos. Diré que un ángulo es positivo Antes, el lado inicial de un ángulo siempre estará sobre el eje positivo de x. Entonces podemos considerar este, como el lado inicial el lado inicial de un ángulo. Ahora, para dibujar un ángulo positivo, el lado final lo moveremos en una dirección contra las manecillas del reloj. Así que ángulos positivos significan que vamos contra las manecillas del reloj. Esta es la convención que voy a usar. Además es la convención más usada. Ahora pueden imaginar un ángulo negativo que se mueve en dirección de las manecillas del reloj. Así que déjenme dibujar un ángulo positivo. Así que un ángulo positivo se verá así. Este es el lado inicial Y de ahí, voy en dirección contraria a las manecillas del reloj hasta medir el ángulo Y este es el lado final. Así que éste es un ángulo positivo theta. Quiero pensar en este punto como la intersección entre el lado final del ángulo y mi círculo unitario. Diremos que tiene las coordenadas a,b El valor de x es a El valor de y es b El objetivo de todo esto es usar este círculo unitario para entender las definiciones tradicionales de las funciones trigonométricas. Ahora lo que quiero hacer es hacer theta parte de un triángulo rectángulo. Para hacerlo parte de un tríangulo rectángulo, dibujaré una línea vertical aquí. Dejaré claro que este ángulo es de 90 grados. Así que esta theta es parte de este triángulo. Veámos que podemos obtener sobre los lados de este triángulo. La primera pregunta que tengo es, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa del triángulo que acabo de construir? Bueno, la hipotenusa es el radio del círculo unitario. El círculo unitario tiene un radio de 1. Así que la hipotenusa tiene longitud 1. Ahora, ¿cuál es la longitud del lado azul? Podemos ver este lado como el lado opuesto al ángulo. Bueno, esa altura es exactamente la coordenada y de este punto Así que la altura es igual a b. La coordenada y es b. La altura es b. Ahora, usando la misma lógica, ¿cuál es la longitud de la base? ¿de la base del triángulo? Bueno, es la coordenada x del punto de intersección. Si bajamos esta línea, el punto x es igual a a. La distancia entre el origen y el punto es de longitud a. Ahora que hemos establecido esto, ¿cuál es el coseno (usaré el mismo verde) del ángulo en función de a y b? y cualquier otro número que aparezca Bueno, si lo piensan, sólo necesitamos la definición sohcahtoa Es la única que tenemos ahora. Estamos en el proceso de extenderla -- soh cah toa la definición de las funciones trigonométricas. Y la parte cah es la que nos ayuda con el coseno. Nos dice que el coseno del ángulo es igual a la longitud del lado adyacente sobre la hipotenusa. ¿Cuánto será? La longitud del lado adyacente para este ángulo, es a. Así que será igual a a sobre -- ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? Bueno, es 1. Así que el coseno de theta es igual a a. Déjenme escribir esto de nuevo. Así que el coseno de theta es igual a a. Es igual a la coordenada x del lado final del ángulo que intersecta el círculo unitario. Ahora pensemos en el seno de theta Lo haré en naranja. ¿Cuánto será el seno de theta? Bueno, tenemos que ver la parte soh de nuestra definición "soh cah toa" Dice que el seno es el lado opuesto sobre la hipotenusa. Bueno, el lado opuesto tiene longitud b. Y la hipotenusa longitud 1 Así que el seno de theta es igual a b. Una cosa interesante, esta coordenada, este punto donde el lado final del ángulo intersecta el círculo unitario, el punto (a,b) lo podemos ver como a = coseno de theta Y b como seno de theta Bueno, eso es interesante. Hemos usado nuestro soh cah toa Ahora, podemos usar esto para extender nuestro soh cah toa? Porque el soh cah toa tiene un problema. Funciona bien si el ángulo es mayor a 0 grados y si es menor a 90 grados. Siempre podemos hacerlo parte de un triángulo rectángulo. Pero soh cah toa deja de funcionar si el ángulo es 0 o si se vuelve negativo, o si el ángulo es mayor a 90 grados. No puedes tener un triángulo rectángulo con dos ángulos de 90 grados. en él. Empieza a fallar. Dejaré esto claro. Este es un triángulo rectángulo, con un ángulo grande. puedo hacer el ángulo aún más grande y aún así tengo un triángulo rectángulo. Incluso más grande, pero no puedo llegar a 90 grados. a los 90 grados, no queda claro si tengo un triángulo. Parece que todo deja de funcionar. Especialmente, ¿qué pasa cuando voy más allá de 90 grados? Veámos si puedo usar lo que he dicho. Hagamos una nueva definición de nuestras funciones trigonométricas que en realidad será una extensión de "soh cah toa" y es consistente con "soh cah toa" En lugar de definir coseno como si tuviera un triángulo rectángulo, y decir, ok, es el adyacente sobre la hipotenusa. seno es el opuesto sobre la hipotenusa. tangente es el opuesto sobre adyacente por qué no mejor decimos, para cualquier ángulo, que podemos dibujarlo en el círculo unitario usando esta convención que acabo de desarrollar? Y sólo digamos que el coseno del ángulo es igual a la coordenada x en donde intersecta, en donde el lado final del ángulo intersecta el círculo unitario. Y por qué no definimos seno de theta igual a la coordenada y donde el lado final del ángulo intersecta el círculo unitario? En resumen, para cualquier ángulo, este punto va a definir el coseno y el seno de theta Cuál será entonces la definición de tangente de theta? Bueno, tangente de theta, incluso con "soh cah toa" puede definirse como seno de theta sobre coseno de theta, que en este caso será solo la coordenada y del punto de intersección con el círculo unitario sobre la coordenada x. En los siguiente videos, les mostraré algunos ejemplos. en donde usamos la definición del círculo unitario para empezar a evaluar algunas razones trigonométricas.